Progressão Geométrica. Exercícios resolvidos

Progressão geométrica é toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante q. 

Propriedades da PG

Numa PG positiva qualquer termo é a média geométrica entre o termo anterior e o seguinte. Assim, na PG (1, 2, 4, 8, 16, 32), temos:

4 é a média geométrica entre 2 e 8, porque 4 = 

2⋅8−−−−

√

;

8 é a média geométrica entre 4 e 16, porque 8 = 

4⋅16−−−−

√

.

É importante saber fazer a representação de uma PG genérica, por exemplo:

(x, 

x⋅q

, 

x⋅

q

2

, 

x⋅

q

3

...), com razão q.

CLASSIFICAÇÃO

As progressões geométricas, da mesma forma que as progressões aritméticas, classificam-se em finitas, infinitas, decrescentes, crescentes e estacionárias. Além disso, as progressões geométricas de razão negativa são chamadas de alternadas, porque seus termos são alternadamente positivos e negativos.

Uma PG é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a

1

 > 0 e q > 1, ou a1

 < 0 e 0 < q < 1. Por exemplo:

(4, 8, 16, 32...) é uma PG crescente de razão q = 2;

(-4, -2, -1, 

−12

...) é uma PG decrescente de razão q = 12

.

Uma P.G. é constante quando todos os seus termos são iguais. Para isso aconteça é necessário e suficiente que sua razão seja 1 ou que todos os seus termos sejam nulos. Observe:

(8, 8, 8, 8...) é uma PG constante de razão q = 1. 

(0, 0, 0, 0...) é uma PG constante de razão indeterminada.

Uma PG é oscilante quando todos os seus termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos quaisquer têm sinais opostos. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que 

a1

≠0

 e q < 0. Veja:

(3, -6, 12, -24, 48, -96...) é uma PG oscilante de razão q = -2.

(-1, 

12

, −14

, 18

, −116

...) é uma PG oscilante de razão q = −12

.

Uma PG é quase nula quando o primeiro termo é diferente de zero e todos os demais são iguais a zero. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que a

1

≠0

 e q = 0. Por exemplo:

(8, 0, 0, 0, 0...) é uma P.G. quase nula.

EXEMPLOS

A sequência seguinte é uma progressão geométrica, observe: (2, 6, 18, 54...). Determine o 8º termo dessa progressão.

Razão da progressão: 6 : 2 = 3

a_n = a1 * q n–1
a₈ = 2 * 3 8–1
a₈ = 2 * 3 7
a₈ = 2 * 2187
a₈ = 4374

(Vunesp – SP – Adaptado)

Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. Elas deverão ser empilhadas respeitando a seguinte ordem: uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na pilha. Por exemplo:

Determine a quantidade de tábuas empilhadas na 12ª pilha.

As tábuas são empilhadas de acordo com uma progressão geométrica de razão 2. Então:

a_n = a1 * q n–1
a₁₂ = 1 * 2 12–1
a₁₂ = 1 * 2 11
a₁₂ = 1 * 2048
a₁₂ = 2048

Na 12ª pilha teremos 2048 tábuas. 

Determine o décimo termo de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 2 e a razão é 3.

A fórmula usada para determinar um termo qualquer de uma PG é:

a_n = a₁·q^{n – 1}

Substituindo os valores nessa fórmula, teremos:

     a_n = a₁·q^{n – 1}

       a₁₀ = 2·3^{10 – 1}

a₁₀ = 2·3⁹

      a₁₀ = 2·19683

    a₁₀ = 39366

Qual é o décimo quinto termo da PG (1, 2, 4, 8, …)?

Para encontrar o 15º termo da PG, basta usar a fórmula do termo geral:

a_n = a₁·q^{n – 1}

Note que a razão da PG é 2, pois esse é o resultado da divisão de qualquer termo por seu antecessor. Por exemplo, 2 : 1 = 2. Substituindo os valores na fórmula, teremos:

      a₁₅ = 1·2^{15 – 1}

    a₁₅ = 2^{15 – 1}

a₁₅ = 2¹⁴

     a₁₅ = 16384

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Determine o décimo termo da PG (−14, 12, -1...)

Resposta
a10 = ?
a1 = −14
q = -2

a10 = a1⋅qn−1
a10 = −14⋅29
a10 = 4−1⋅29
a10 = 22(−1)⋅29
a10 = 2−2⋅29
a10 = 27 = 128

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