Operações com polinômios. Exercícios resolvidos

 

 

Polinômios são expressões algébricas, desde aquelas que envolvem apenas números até as que apresentam letras, potências, coeficientes, entre outros elementos. Os polinômios são expressões matemáticas que formam as funções polinomiais. 

Raiz do polinômio

Tomando um polinômio qualquer cujo resultado seja 0, por exemplo 2x³ + 4x² – 2x, a raiz desse polinômio assumirá um valor b caso, e somente se, esse polinômio obtiver valor zero quando b = x.

Exemplo 1:

Para descobrirmos a raiz de um polinômio devemos igualá-lo a 0.

x³ – 1 = 0
x³ = 1
x = 31
x = + 1 ou – 1

Conclui-se que tanto 1 quanto -1 são raízes de P(x) = x³ – 1.

Exemplo 2:

Sabendo-se que –3 é raiz de P(x) = x³ + 4x² - ax + 1, calcule o valor de a.

Como foi dito que -3 é raiz do polinômio, devemos inserir -3 no lugar de x e igualar o polinômio a zero a fim de obter o valor de a.

(-3)³ + 4(-3)² + -a(-3) + 1 = 0
-27 + 36 + 3a + 1 = 0
-26 + 36 = -3a
10 = -3a

Exemplo 3:

Qual deve ser o valor de k para que x=2 seja raiz de p(x)=x³+kx−6? Incluindo 2 no lugar de x e igualando o polinômio a 0 temos que:

0 = 2³ + k(2) – 6
0 = 8 + 2k – 6
0 = 2 + 2k
2k = -2
k = -1

Adição de polinômios

Para realizar uma operação algébrica de soma de polinômios devemos realizar essa operação somando os coeficientes dos termos semelhantes, ou seja, aqueles que possuem a mesma parte literal.

Exemplo 1:

Somando os dois polinômios abaixo temos:

p(x)=4x⁵ + 7x³ – 9x + 2
q(x)=x⁵+ 2x⁴ − 7x³ + 5x
p(x) + q(x) = 4x⁵ + 7x³ – 9x + 2 + x⁵+ 2x⁴ − 7x³ + 5x
p(x) + q(x) = 4x⁵ + x⁵+ 2x⁴ + 7x³- 7x³ - 9x + 5x + 2
p(x) + q(x) = 5x⁵ + 2x⁴ – 4x + 2

Exemplo 2:

Considerando p(x) = 3x³ + 2x + 1 e q(x) = -2x³ + x – 4:

p(x) + q(x) = 3x³ + 2x + 1 + (-2x³ + x – 4)
p(x) + q(x) = 3x³ – 2x³ + 2x + x + 1 – 4
p(x) + q(x) = x³ + 3x – 3

Subtração de polinômios

Assim como na soma, devemos realizar a operação de subtração entre os termos semelhantes.

Exemplo 1:

Subtraindo os dois polinômios abaixo temos:

p(x) = 3xy + 2x² + 2x -1
q(x) = 2xy – 3x + 1
p(x) – q(x) = 3xy + 2x² + 2x -1 –(2xy – 3x + 1)
p(x) – q(x) = 3xy + 2x² + 2x -1 – 2xy + 3x – 1
p(x) – q(x) = xy + 2x² + 5x – 2

Exemplo 2:

Qual o resultado da subtração dos dois polinômios abaixo?

p(x)=2x² + 4x
q(x)=–2x² + x – 6
p(x) – q(x) = 0
p(x) – q(x) = 2x² + 4x –(-2x² + x – 6)
p(x) – q(x) = 2x² + 2x² + 4x – x + 6
p(x) – q(x) = 4x² + 3x + 6

Multiplicação de polinômios

Já na multiplicação, a operação algébrica é feita realizando a distributiva entre os termos dos polinômios que serão multiplicados. Na multiplicação de termos semelhantes devemos repetir a incógnita e somar os expoentes.

p(x) = a + b – c
q(x) = x + y + w
(p * q) = (a + b – c) (x + y + w)

Exemplo 1:

Qual o polinômio obtido a partir da multiplicação entre os dois polinômios abaixo?

p(x) = 3x² - 5x + 8
q(x) = -2x + 1

(p * q) (x) = (3x² - 5x + 8) . (-2x + 1)
(p * q) (x) = -6x³ + 3x² + 10x² - 5x - 16x + 8
(p * q) (x) = -6x³ + 13x² - 21x +8

Perceba que o grau do polinômio resultante é 3.

Exemplo 2:

p(x) = (2x² + 5x + 2)
q(x) = (3x² – 2)
(p * q) (x) = (2x² + 5x + 2) (3x² – 2)
(p * q) (x) = 6x⁴ – 4x² + 15x³ – 10x + 6x² – 4
(p * q) (x) = 6x⁴ + 15x³ + 2x² - 10x – 4

Divisão de polinômios

Entre as operações envolvendo polinômios a divisão é o processo algébrico mais complexo e que emprega um maior tempo para sua resolução.

Não existe apenas um método que forneça o resultado de uma divisão entre polinômios, mas um dos mais comuns é o chamado método da chave, semelhante ao esquema de divisão dos números inteiros.

Realizar a operação de divisão de um polinômio D(x), o dividendo, através método da chave por d(x), o divisor, é obter q(x), o polinômio resultante da divisão, e um resto r(x).

Desse modo, temos que: D(x) = d(x) * q(x) + r(x)

Passo-a-passo:

Com dois polinômios f(x)=2x³− 4x² + 3x − 8 e g(x)= x² + 2x − 4 numa situação na qual f(x) será o dividendo e g(x) o divisor teremos:

2x³− 4x² + 3x – 8   | x² + 2x – 4

                                |

1. O primeiro passo é dividir o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor.

2x³− 4x² + 3x – 8   | x² + 2x – 4

                                |
2x³− 4x² + 3x – 8   | x² + 2x – 4

                                |2x

O número obtido deve ser inserido no lugar do quociente.

2. Agora, multiplicaremos o valor inserido no quociente por cada termo presente no divisor, em seguida trocando o sinal de cada termo, ou seja, multiplicando todos os termos por -1.

2x³− 4x² + 3x – 8   | x² + 2x – 4

                                |2x

 2x³ − 4x² + 3x – 8   | x² + 2x – 4
- 2x³ – 4x² + 8x         |2x

3. Em seguida, devemos somar a relação obtida.

2x³ − 4x² + 3x – 8   | x² + 2x – 4

-2x³ – 4x² + 8x         |2x

0x³- 8x² + 11x – 8

4. Seguindo o padrão do item número 1, deveremos substituir o primeiro termo do polinômio encontrado pelo primeiro termo do divisor.

2x³ − 4x² + 3x – 8   | x² + 2x – 4

-2x³ – 4x² + 8x        |2x – 8

- 8x² + 11x – 8

5. Assim como no item 9, agora multiplicaremos o resultado obtido pelos temos do divisor trocando os sinais e, em seguida, somando-o com o polinômio acima.

2x³ − 4x² + 3x – 8   | x² + 2x – 4

-2x³ – 4x² + 8x        |2x – 8

- 8x² + 11x – 8

+8x² + 16 – 32

2x³ − 4x² + 3x – 8   | x² + 2x – 4

-2x³ – 4x² + 8x        |2x – 8

- 8x² + 11x – 8

+8x² + 16x – 32

0x² + 27x – 40

Quando obtemos um resto cujo grau seja menor do que o grau do divisor consideramos a operação finalizada, uma vez que o grau do resto deve ser menor que o grau do polinômio divisor.

Sendo assim, temos que q(x) = 2x – 8 e r(x) = 27x -40.

Exercícios resolvidos sobre polinômio

Como vimos anteriormente, o polinômio é caracterizado como uma expressão algébrica formado por monômios, termos formados por um número e uma incógnita.

Uma vez que os conceitos de termos semelhantes, grau e raízes dos polinômios são conhecidos, aplicaremos tais conceitos aos seguintes exercícios abaixo.

1) Considerando que p(x) = 2x³ – kx² + 3x – 2k, para que valores de k temos p(2) = 4?

Uma vez que o enunciado da questão nos cedeu os pontos (2, 4), no qual x = 2 e y = 4, podemos inseri-los na questão e assim descobrir o valor de k. Veja:

p(2) = 2*(2)³ – k(2)² + 3(2) -2k
4 = 2*(2)³ – k(2)² + 3(2) -2k
4 = 2*8 – k*4 + 3*2 – 2k
4 = 16 – 4k + 6 – 2k
4 = 22 – 6k
-18 = -6k (-1)
6k = 18
k = 3

2) Determine o valor de a e b no polinômio p(x) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1, sabendo que 1 é raiz do polinômio e p(2) = 25.

Se o enunciado informou que a raiz é 1, isso significa que podemos inserir o número 1 no lugar de x e com isso igualar o polinômio a zero, inserindo o ponto (1, 0) na equação.

p(1) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1
0 = 1³ + a1² + (b – 18)1 + 1
1 + a + b – 18 + 1 = 0
a + b + 2 – 18 = 0
a + b – 16 = 0
a + b = 16

Chegamos, por fim, a uma igualdade com duas incógnitas. Agora devemos aplicar o outro ponto cedido no enunciado na equação. Temos que p(2) = 25:

p(2) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1
25 = 2³ + a(2)² + (b – 18)*2 + 1
25 = 8 + 4a + 2b – 36 + 1
25 = -27 + 4a + 2b
4a + 2b = 25 + 27
4a + 2b = 52

Precisaremos, por fim, realizar um sistema entre as duas equações encontradas com o intuito de descobrir o valor das incógnitas.

(I) a + b = 16
(II) 4a + 2b = 52

Podemos, a fim de eliminar b da equação, multiplicar a equação 1 por -2 e somar ambas equações. Veja:

(I) -2a - 2b = -32
(II)4a + 2b = 52
_______________
(III) 2a = 20
a = 10

Substituindo a na equação I:

a + b = 16
10 + b = 16
b = 6

Mais exercícios sobre polinômios com gabarito

Após abordarmos as noções de polinômios e discutirmos alguns exercícios mais simplificados que abordam noções de conceitos, abordaremos exercícios que exigem outras habilidades na sua resolução.

1) (Guarda Civil SP). O resto da divisão do polinômio x³ + 3x² – 5x + 1 por (x-2) é:

a) 1
b) 2
c) 10
d) 11
e) 12

A divisão de polinômios não é considerada propriamente uma habilidade difícil, mas confunde muitas pessoas na hora de resolver questão como essas. Veja abaixo a resolução seguindo o método da chave.

x³ + 3x² – 5x + 1           | x - 2

-x³ + 2                            |  x^2
________
0x³ + 3x² – 5x + 1

Seguindo o tutorial, primeiro dividimos o primeiro monômio do polinômio dividendo (x³) pelo primeiro monômio do polinômio divisor (x) e inserimos o resultado no quociente.

Após isso, devemos multiplicar o monômio obtido por todos os termos do polinômio divisor, em seguida devemos trocar o sinal do resultado, ou seja, multiplicar por -1.

x³ + 3x² – 5x + 1           | x - 2

-x³ + 2x²                        |  x² + 5x + 5
^________
5x² – 5x + 1

-5x² + 10x
__________
5x + 1

-5x + 10
________
R(x) = 11

Para essa divisão tivemos que obter um resto de expoente 0 uma vez que o resto da divisão de um polinômio deve ter um grau menor do que o grau do polinômio divisor.

Resposta letra d.

2) (Prefeitura de Terra de Areia RS – Objetiva 2016). Assinalar a alternativa que apresenta o resultado do polinômio abaixo:

2x(5x + 7y) + 9x(2y)

a) 10x + 14xy + 18yx

b) 6x² + 21xy

c) 10x² + 32xy

d) 10x² + 9y

e) 22x + 9y

A questão acima é bastante simples, devemos apenas realizar a distributiva entre os fatores.

2x(5x + 7y) + 9x(2y)

10x² + 14xy + 18xy

10x² + 32xy

Letra C

3) (FEI – SP) Sendo p(x) = ax⁴ + bx³ + c e q(x) = ax³ – bx – c, determine os coeficientes a, b e c, sabendo que p(0) = 0, p(1) = 0 e q(1) = 2.

Nesse exemplo, temos que relacionar coeficientes de duas equações. Inserindo os pontos cedidos pelo enunciado na questão temos que:

p(x) = ax⁴ + bx³ + c  ; p(0) = 0
p(0) = a(0)⁴ + b(0)³ + c
0 = a*0 + b*0 + c
c = 0

p(x) = ax⁴ + bx³ + c  ; p(1) = 0
p(1) = a(1)⁴ + b(1)³ + c
0 = a + b + c

Se c = 0, temos que a + b = 0.

q(x) = ax³ – bx – c  ;  q(1) = 2
q(1) = a(1)³ – b(1) – c
2 = a – b – c

Sendo c = 0: a – b = 2

Comparando e somando as equações obtidas temos:

a + b = 0
a – b = 2
2a = 2
a = 1

Se a = 1, b:
a + b = 0
1 + b = 0
b = -1

Assim, a = 1 e b = -1.