Física 3º Ano Ondulatória

Ondas

Para a Física, a onda é uma perturbação que se propaga no espaço ou em qualquer outro meio. Elas são classificadas em relação à natureza, direção e energia de propagação.

As ondas são perturbações que se propagam no espaço ou em meios materiais transportando energia. De acordo com a sua natureza, as ondas podem ser classificadas em dois tipos:

Ondas mecânicas: são as ondas que se propagam em meios materiais. Por exemplo: as ondas marítimas, ondas sonoras, ondas sísmicas etc. A descrição do comportamento desse tipo de onda é feita pelas Leis de Newton.

Ondas eletromagnéticas: são resultado da combinação de campo elétrico com campo magnético. A sua principal característica é que não precisam de um meio material para propagar-se. São exemplos desse tipo de onda a luz, raio X, micro-ondas, ondas de transmissão de sinais, entre outras. Elas são descritas pelas equações de Maxwell.

Outra classificação das ondas é feita considerando-se a direção de vibração. De acordo com essa característica, uma onda pode ser definida como:

→ Transversal: quando as partículas do meio de propagação vibram perpendicularmente à direção de propagação da onda. Um exemplo desse tipo de onda é a luz.

→ Longitudinais: quando as partículas do meio de propagação vibram na mesma direção em que a onda se propaga, como é o caso das ondas sonoras.

Por fim, quanto à direção de propagação, as ondas podem ser classificadas em:

→ unidimensionais: quando se propagam em apenas uma direção, como a onda em uma corda;

→ bidimensionais: se a propagação ocorre em duas direções, que é o caso da onda gerada por uma perturbação na água;

Propriedades das ondas

Para estudar uma onda, precisamos conhecer algumas de suas propriedades, tais como: a velocidade de propagação, a amplitude, o período e a frequência. Para uma melhor compreensão dessas propriedades, veja a seguir a representação gráfica de uma onda:

Representação gráfica de uma onda

O comprimento de onda, que pode ser representado pela letra λ, é a distância entre valores repetidos em uma forma de onda. É calculado com a equação:

Sendo:

λ – o comprimento de onda;

c – velocidade da luz no vácuo (possui valor igual a 3.108m/s);

f – frequência da luz.

A partir de λ, podemos calcular a velocidade de uma onda com a seguinte fórmula:

Sendo:

v – velocidade da onda;

λ – comprimento da onda;

T – período.

O período é definido como o espaço de tempo necessário para uma onda caminhar um comprimento de onda.

A frequência é o inverso do período:

a velocidade de propagação da onda pode ser dada por:

Exemplos

QUESTÃO 1

(FAMEMA-SP) Com o objetivo de simular as ondas no mar, foram geradas, em uma cuba de ondas de um laboratório, as ondas bidimensionais representadas na figura, que se propagam de uma região mais funda (região 1) para uma região mais rasa (região 2).

Sabendo que, quando as ondas passam de uma região para a outra, sua frequência de oscilação não se altera e considerando as medidas indicadas na figura, é correto afirmar que a razão entre as velocidades de propagação das ondas nas regiões 1 e 2 é igual a:

a) 1,6.

b) 0,4.

c) 2,8.

d) 2,5.

e) 1,2.

QUESTÃO 2

(IFGO) As ondas são formas de transferência de energia de uma região para outra. Existem ondas mecânicas – que precisam de meios materiais para se propagarem – e ondas eletromagnéticas – que podem se propagar tanto no vácuo como em alguns meios materiais. Sobre ondas, podemos afirmar corretamente que

a) a energia transferida por uma onda eletromagnética é diretamente proporcional à frequência dessa onda.

b) o som é uma espécie de onda eletromagnética e, por isso, pode ser transmitido de uma antena à outra, como ocorre nas transmissões de TV e rádio.

c) a luz visível é uma onda mecânica que somente se propaga de forma transversal.

d) existem ondas eletromagnéticas que são visíveis aos olhos humanos, como o ultravioleta, o infravermelho e as micro-ondas.

e) o infrassom é uma onda eletromagnética com frequência abaixo da audível.

QUESTÃO 3

A respeito das características das ondas, marque a alternativa errada.

a) Ondas sonoras e ondas sísmicas são exemplos de ondas mecânicas.

b) A descrição do comportamento das ondas mecânicas é feita pelas leis de Newton.

c) As ondas eletromagnéticas resultam da combinação de um campo elétrico com um campo magnético.

d) A descrição das ondas eletromagnéticas é feita por meio das equações de Maxwell.

e) Quanto à direção de propagação, as ondas geradas em um lago pela queda de uma pedra na água são classificadas como tridimensionais.

QUESTÃO 4

O som mais grave que o ouvido humano é capaz de ouvir possui comprimento de onda igual a 17 m. Sendo assim, determine a mínima frequência capaz de ser percebida pelo ouvido humano.

Dados: Velocidade do som no ar = 340 m/s

a) 10 Hz

b) 15 Hz

c) 17 Hz

d) 20 Hz

e) 34 Hz

RESPOSTAS

Questão 1

LETRA “D”

Os valores 2 m e 0,8 m representam os comprimentos das ondas nas regiões 1 e 2, respectivamente.

A frequência das ondas deve ser a mesma nas duas regiões, pois, na mudança de lugar de propagação, a frequência de uma onda não é alterada. Sendo assim, temos:

F₁ = F₂

Sabendo que a velocidade de uma onda é dada pelo produto do comprimento de onda e a velocidade, podemos entender que a frequência é a razão da velocidade pelo comprimento de onda:

Questão 2

LETRA “A”

a) CORRETA

b) ERRADO: O som é uma onda mecânica.

c) ERRADO: A luz visível é uma onda eletromagnética.

d) ERRADO: O ultravioleta e infravermelho não são ondas que compõem o espectro visível.

e) ERRADO: O infrassom é uma onda mecânica com frequência abaixo do audível.

Questão 3

LETRA “E”

As ondas geradas em um lago pela queda de uma pedra na água são classificadas como bidimensionais, pois existem apenas sobre a superfície da água.

Questão 4

LETRA “D”

A partir da equação da velocidade de uma onda, podemos escrever que:

v = λ . f

f = v ÷ λ

f = 340 ÷ 17

f = 20 Hz

Física 1° Ano Movimento Uniforme MU

Movimento uniforme

Movimento uniforme é aquele em que a velocidade de um corpo é constante, deslocando-se apenas em linha reta. A principal equação usada para o estudo do movimento uniforme é a função horária da posição, mostrada a seguir:

Movimento circular uniforme

Movimento circular é aquele em que a direção da velocidade de um móvel muda constantemente, de modo que a sua distância a um ponto do espaço permaneça constante. Mesmo que chamado de movimento circular uniforme, esse movimento é acelerado, uma vez que, para que se possa descrever uma trajetória circular, é necessária a existência de uma aceleração centrípeta.

No estudo do movimento circular, deparamo-nos com uma grande quantidade de equações, uma vez que existem: equações que calculam deslocamento e velocidade escalar; equações que calculam grandezas angulares, tais como velocidade angular; e, por fim, equações que servem para relacionar esses dois tipos de grandezas.

Confira algumas das mais importantes equações do movimento circular:

A velocidade angular é determinada pela frequência ou pelo período da rotação.

A velocidade escalar é determinada pelo produto da velocidade angular com o raio de rotação.

A frequência de um movimento circular corresponde ao inverso de seu período.

Estática

Estática estuda as condições de equilíbrio em corpos extensos, ou seja, determina quais devem ser as medidas ou ainda a intensidade de forças e torques para que um corpo de dimensões não desprezíveis possa permanecer em equilíbrio. No estudo da estática, as leis de Newton são largamente utilizadas.

Exercícios Resolvidos

QUESTÃO 1

Um móvel com velocidade constante percorre uma trajetória retilínea à qual se fixou um eixo de coordenadas. Sabe-se que no instante t0 = 0, a posição do móvel é x0 = 500m e, no instante t = 20s, a posição é x = 200m. Determine:

a. A velocidade do móvel.
b. A função da posição.
c. A posição nos instantes t = 1s e t = 15s.
d. O instante em que ele passa pela origem.

QUESTÃO 2

Dois carros A e B encontram-se sobre uma mesma pista retilínea com velocidades constantes no qual a função horária das posições de ambos para um mesmo instante são dadas a seguir: xA = 200 + 20.t e xB = 100 + 40.t. Com base nessas informações, responda as questões abaixo.

a. É possível que o móvel B ultrapasse o móvel A? Justifique.
b. Determine o instante em que o móvel B alcançará o móvel A, caso este alcance aconteça.

QUESTÃO 3

A função horária do espaço de um carro em movimento retilíneo uniforme é dada pela seguinte expressão: x = 100 + 8.t. Determine em que instante esse móvel passará pela posição 260m.

QUESTÃO 4

O gráfico a seguir representa a função horária do espaço de um móvel em trajetória retilínea e em movimento uniforme.

Com base nele, determine a velocidade e a função horária do espaço deste móvel.

QUESTÃO 5

Um móvel em M.R.U gasta 10h para percorrer 1100 km com velocidade constante. Qual a distância percorrida após 3 horas da partida?

RESPOSTAS

Questão 1

A velocidade do móvel
v = Δs/Δt
v = (200-500)/(20-0)
v = -300/20
v = -15m/s  (velocidade negativa implica em movimento retrógrado)

A função da posição
x = x₀ + v.t
x = 500 - 15t

A posição nos instantes t = 1s e t = 15s

Para t = 1s temos:
x = 500 - 15.1
x = 500 – 15
x = 485m

Para t = 15s temos:
x = 500 – 15.15
x = 500 – 225
x = 275m

O instante em que ele passa pela origem

para x = 0 temos que:
0 = 500 – 15.t
15.t = 500
t = 500/15
t = 33,3 s em valor aproximado.

Questão 2

a) Sim, pois a posição do móvel B é anterior a de A, e B possui uma velocidade constante maior que a de A; estando eles em uma mesma trajetória retilínea dentro de um intervalo de tempo Δt, B irá passar A.

b) x_A = x^B
200 + 20.t = 100 + 40.t
40.t - 20.t = 200 - 100
20.t = 100
t = 100/20
t = 5s

Questão 3

x = 100 + 8.t
260 = 100 + 8.t
8.t = 160
t = 160/8
t = 20s

Questão 4

v = Δs/Δt
v = (250 – 50)/(10 - 0)
v = 200/10
v = 20m/s – velocidade

x = x_o+ v.t
x = 50 + 20.t

Questão 5

V = S/t
V = 1100/10
V = 110km/h

110 = S/3
S = 330 km.

Saiba mais em https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-fisica/exercicios-sobre-movimento-uniforme.htm

Termologia: 2º ano

O que é Termologia?

Termologia é a parte da Física que estuda os fenômenos relacionados ao calor e a temperatura, como transferência de calor, equilíbrio térmico, transformações sofridas por gases, mudanças de estado físico, entre outras

O que é Temperatura:

Temperatura é uma medida estatística do nível de agitação entre moléculas, relacionado com o deslocamento da energia cinética de um átomo ou molécula. ... A temperatura costuma ser medida por um termômetro e indica o grau de intensidade do calor em um determinado território.

O que é calor

Calor é um conceito do âmbito da Física que representa uma forma de energia, sendo a energia térmica em movimento entre partículas atômicas. A palavra calor também pode remeter para alguma coisa quente, ou seja, com temperatura elevada.

Neste momento iremos estudar a termometria que é a parte da termologia voltada para o estudo da temperatura, dos termômetros e das escalas termométricas.

Zero Absoluto: é a temperatura mais baixa possível, -273°C

Equilíbrio Térmico: Quando dois ou mais corpos estão à mesma temperatura, ou seja não há troca de calor entre eles.

Escalas termométricas

Atualmente, existem três escalas termométricas em uso no mundo:

1) Escala Celsius: Criada em 1742 pelo físico sueco Anders Celsius (1701 – 1744), essa escala atribui o valor 0 °C para o ponto de fusão e 100 °C para o ponto de ebulição da água.

2) Escala Fahrenheit: Criada em 1708 pelo físico alemão Daniel Fahrenheit (1686 – 1736), essa escala é utilizada principalmente nos países de língua inglesa e possui o valor 32 °F para o ponto de fusão e 212 °F para a ebulição da água.

3) Escala Kelvin: Essa escala foi criada pelo inglês Willian Thompson (1824 – 1907), conhecido como Lord Kelvin. Tendo como referência a temperatura do zero absoluto, temperatura em que a vibração molecular cessa, a escala Kelvin é conhecida como escala absoluta.

Lord Kelvin atribuiu o valor zero à temperatura de – 273,15 °C, que corresponde à temperatura do zero absoluto. Assim, os pontos de fusão e ebulição na escala Kelvin correspondem, respectivamente, a 273 K e 373 K. Essa escala não apresenta a notação grau (°) e é utilizada pela comunidade científica.

Fórmula do termo Geral

Uma escala termométrica corresponde a um conjunto de valores numéricos, onde cada um desses valores está associado a uma determinada temperatura.

Como geralmente a variação da temperatura e a variação da grandeza termométrica são proporcionais, isso equivale dizer matematicamente que a equação termométrica é uma função do primeiro grau, a qual fica definida a partir de dois pontos.

No caso das escalas termométricas os pontos escolhidos correspondem a dois estados térmicos bem definidos e facilmente obtidos, sendo atribuindo a cada um deles um valor arbitrário de temperatura. Esses dois pontos são denominados pontos fixos da escala e são:

1° ponto fixo: corresponde à temperatura de fusão do gelo e é chamado ponto do gelo.

2° ponto fixo: corresponde à temperatura de ebulição da água e é chamado ponto do vapor.

Já foram criadas várias escalas termométricas, contudo as mais usadas são as escalas indicadas na tabela abaixo:

ESCALAS	Celsius	Fahrenheit	Kelvin
Ponto de ebulição	100	212	373
Ponto de fusão	0	32	273
Nº de divisões entre os pontos fixos	100	180	100

A partir da escolha dos pontos fixos, realizam-se as operações para se ter um termômetro tradicional de mercúrio. Veja a seguir quais são essas operações:

1ª) Coloca-se o termômetro em contato com o gelo em fusão e, após ocorrer o equilíbrio térmico, marca-se a altura da coluna de mercúrio atribuindo um certo valor numérico.

2ª) Coloca-se o termômetro em contato com a água em ebulição e, após ocorrer o equilíbrio térmico, marca-se a altura da coluna de mercúrio atribuindo um certo valor numérico.

3ª) Divide-se em partes iguais o espaço entre as duas marcas realizadas.

Fonte: https://www.passeiweb.com/estudos/sala_de_aula/fisica/termologia_1_2_esc_termometricas

Para converter uma temperatura de uma escala qualquer para um outra escala, utiliza-se a seguinte fórmula como expressão geral:

${\displaystyle {\frac {p_{x}-p_{1}}{p_{2}-p_{1}}}={\frac {p'_{x}-p'_{1}}{p'_{2}-p'_{1}}}}$

Para:

• p_x a temperatura desejada de uma escala qualquer;
• p₁ o ponto comum 1 de uma escala qualquer;
• p₂ o ponto comum 2 de uma escala qualquer;
• p'_x a temperatura desejada de uma escala desejada;
• p'₁ o ponto comum 1 de uma escala desejada;
• p'₂ o ponto comum 2 de uma escala desejada.

Conversão entre as escalas conhecidas.

Operações com polinômios. Exercícios resolvidos

 

 

Polinômios são expressões algébricas, desde aquelas que envolvem apenas números até as que apresentam letras, potências, coeficientes, entre outros elementos. Os polinômios são expressões matemáticas que formam as funções polinomiais. 

Raiz do polinômio

Tomando um polinômio qualquer cujo resultado seja 0, por exemplo 2x³ + 4x² – 2x, a raiz desse polinômio assumirá um valor b caso, e somente se, esse polinômio obtiver valor zero quando b = x.

Exemplo 1:

Para descobrirmos a raiz de um polinômio devemos igualá-lo a 0.

x³ – 1 = 0
x³ = 1
x = 31
x = + 1 ou – 1

Conclui-se que tanto 1 quanto -1 são raízes de P(x) = x³ – 1.

Exemplo 2:

Sabendo-se que –3 é raiz de P(x) = x³ + 4x² - ax + 1, calcule o valor de a.

Como foi dito que -3 é raiz do polinômio, devemos inserir -3 no lugar de x e igualar o polinômio a zero a fim de obter o valor de a.

(-3)³ + 4(-3)² + -a(-3) + 1 = 0
-27 + 36 + 3a + 1 = 0
-26 + 36 = -3a
10 = -3a

Exemplo 3:

Qual deve ser o valor de k para que x=2 seja raiz de p(x)=x³+kx−6? Incluindo 2 no lugar de x e igualando o polinômio a 0 temos que:

0 = 2³ + k(2) – 6
0 = 8 + 2k – 6
0 = 2 + 2k
2k = -2
k = -1

Adição de polinômios

Para realizar uma operação algébrica de soma de polinômios devemos realizar essa operação somando os coeficientes dos termos semelhantes, ou seja, aqueles que possuem a mesma parte literal.

Exemplo 1:

Somando os dois polinômios abaixo temos:

p(x)=4x⁵ + 7x³ – 9x + 2
q(x)=x⁵+ 2x⁴ − 7x³ + 5x
p(x) + q(x) = 4x⁵ + 7x³ – 9x + 2 + x⁵+ 2x⁴ − 7x³ + 5x
p(x) + q(x) = 4x⁵ + x⁵+ 2x⁴ + 7x³- 7x³ - 9x + 5x + 2
p(x) + q(x) = 5x⁵ + 2x⁴ – 4x + 2

Exemplo 2:

Considerando p(x) = 3x³ + 2x + 1 e q(x) = -2x³ + x – 4:

p(x) + q(x) = 3x³ + 2x + 1 + (-2x³ + x – 4)
p(x) + q(x) = 3x³ – 2x³ + 2x + x + 1 – 4
p(x) + q(x) = x³ + 3x – 3

Subtração de polinômios

Assim como na soma, devemos realizar a operação de subtração entre os termos semelhantes.

Exemplo 1:

Subtraindo os dois polinômios abaixo temos:

p(x) = 3xy + 2x² + 2x -1
q(x) = 2xy – 3x + 1
p(x) – q(x) = 3xy + 2x² + 2x -1 –(2xy – 3x + 1)
p(x) – q(x) = 3xy + 2x² + 2x -1 – 2xy + 3x – 1
p(x) – q(x) = xy + 2x² + 5x – 2

Exemplo 2:

Qual o resultado da subtração dos dois polinômios abaixo?

p(x)=2x² + 4x
q(x)=–2x² + x – 6
p(x) – q(x) = 0
p(x) – q(x) = 2x² + 4x –(-2x² + x – 6)
p(x) – q(x) = 2x² + 2x² + 4x – x + 6
p(x) – q(x) = 4x² + 3x + 6

Multiplicação de polinômios

Já na multiplicação, a operação algébrica é feita realizando a distributiva entre os termos dos polinômios que serão multiplicados. Na multiplicação de termos semelhantes devemos repetir a incógnita e somar os expoentes.

p(x) = a + b – c
q(x) = x + y + w
(p * q) = (a + b – c) (x + y + w)

Exemplo 1:

Qual o polinômio obtido a partir da multiplicação entre os dois polinômios abaixo?

p(x) = 3x² - 5x + 8
q(x) = -2x + 1

(p * q) (x) = (3x² - 5x + 8) . (-2x + 1)
(p * q) (x) = -6x³ + 3x² + 10x² - 5x - 16x + 8
(p * q) (x) = -6x³ + 13x² - 21x +8

Perceba que o grau do polinômio resultante é 3.

Exemplo 2:

p(x) = (2x² + 5x + 2)
q(x) = (3x² – 2)
(p * q) (x) = (2x² + 5x + 2) (3x² – 2)
(p * q) (x) = 6x⁴ – 4x² + 15x³ – 10x + 6x² – 4
(p * q) (x) = 6x⁴ + 15x³ + 2x² - 10x – 4

Divisão de polinômios

Entre as operações envolvendo polinômios a divisão é o processo algébrico mais complexo e que emprega um maior tempo para sua resolução.

Não existe apenas um método que forneça o resultado de uma divisão entre polinômios, mas um dos mais comuns é o chamado método da chave, semelhante ao esquema de divisão dos números inteiros.

Realizar a operação de divisão de um polinômio D(x), o dividendo, através método da chave por d(x), o divisor, é obter q(x), o polinômio resultante da divisão, e um resto r(x).

Desse modo, temos que: D(x) = d(x) * q(x) + r(x)

Passo-a-passo:

Com dois polinômios f(x)=2x³− 4x² + 3x − 8 e g(x)= x² + 2x − 4 numa situação na qual f(x) será o dividendo e g(x) o divisor teremos:

2x³− 4x² + 3x – 8   | x² + 2x – 4

                                |

1. O primeiro passo é dividir o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor.

2x³− 4x² + 3x – 8   | x² + 2x – 4

                                |
2x³− 4x² + 3x – 8   | x² + 2x – 4

                                |2x

O número obtido deve ser inserido no lugar do quociente.

2. Agora, multiplicaremos o valor inserido no quociente por cada termo presente no divisor, em seguida trocando o sinal de cada termo, ou seja, multiplicando todos os termos por -1.

2x³− 4x² + 3x – 8   | x² + 2x – 4

                                |2x

 2x³ − 4x² + 3x – 8   | x² + 2x – 4
- 2x³ – 4x² + 8x         |2x

3. Em seguida, devemos somar a relação obtida.

2x³ − 4x² + 3x – 8   | x² + 2x – 4

-2x³ – 4x² + 8x         |2x

0x³- 8x² + 11x – 8

4. Seguindo o padrão do item número 1, deveremos substituir o primeiro termo do polinômio encontrado pelo primeiro termo do divisor.

2x³ − 4x² + 3x – 8   | x² + 2x – 4

-2x³ – 4x² + 8x        |2x – 8

- 8x² + 11x – 8

5. Assim como no item 9, agora multiplicaremos o resultado obtido pelos temos do divisor trocando os sinais e, em seguida, somando-o com o polinômio acima.

2x³ − 4x² + 3x – 8   | x² + 2x – 4

-2x³ – 4x² + 8x        |2x – 8

- 8x² + 11x – 8

+8x² + 16 – 32

2x³ − 4x² + 3x – 8   | x² + 2x – 4

-2x³ – 4x² + 8x        |2x – 8

- 8x² + 11x – 8

+8x² + 16x – 32

0x² + 27x – 40

Quando obtemos um resto cujo grau seja menor do que o grau do divisor consideramos a operação finalizada, uma vez que o grau do resto deve ser menor que o grau do polinômio divisor.

Sendo assim, temos que q(x) = 2x – 8 e r(x) = 27x -40.

Exercícios resolvidos sobre polinômio

Como vimos anteriormente, o polinômio é caracterizado como uma expressão algébrica formado por monômios, termos formados por um número e uma incógnita.

Uma vez que os conceitos de termos semelhantes, grau e raízes dos polinômios são conhecidos, aplicaremos tais conceitos aos seguintes exercícios abaixo.

1) Considerando que p(x) = 2x³ – kx² + 3x – 2k, para que valores de k temos p(2) = 4?

Uma vez que o enunciado da questão nos cedeu os pontos (2, 4), no qual x = 2 e y = 4, podemos inseri-los na questão e assim descobrir o valor de k. Veja:

p(2) = 2*(2)³ – k(2)² + 3(2) -2k
4 = 2*(2)³ – k(2)² + 3(2) -2k
4 = 2*8 – k*4 + 3*2 – 2k
4 = 16 – 4k + 6 – 2k
4 = 22 – 6k
-18 = -6k (-1)
6k = 18
k = 3

2) Determine o valor de a e b no polinômio p(x) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1, sabendo que 1 é raiz do polinômio e p(2) = 25.

Se o enunciado informou que a raiz é 1, isso significa que podemos inserir o número 1 no lugar de x e com isso igualar o polinômio a zero, inserindo o ponto (1, 0) na equação.

p(1) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1
0 = 1³ + a1² + (b – 18)1 + 1
1 + a + b – 18 + 1 = 0
a + b + 2 – 18 = 0
a + b – 16 = 0
a + b = 16

Chegamos, por fim, a uma igualdade com duas incógnitas. Agora devemos aplicar o outro ponto cedido no enunciado na equação. Temos que p(2) = 25:

p(2) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1
25 = 2³ + a(2)² + (b – 18)*2 + 1
25 = 8 + 4a + 2b – 36 + 1
25 = -27 + 4a + 2b
4a + 2b = 25 + 27
4a + 2b = 52

Precisaremos, por fim, realizar um sistema entre as duas equações encontradas com o intuito de descobrir o valor das incógnitas.

(I) a + b = 16
(II) 4a + 2b = 52

Podemos, a fim de eliminar b da equação, multiplicar a equação 1 por -2 e somar ambas equações. Veja:

(I) -2a - 2b = -32
(II)4a + 2b = 52
_______________
(III) 2a = 20
a = 10

Substituindo a na equação I:

a + b = 16
10 + b = 16
b = 6

Mais exercícios sobre polinômios com gabarito

Após abordarmos as noções de polinômios e discutirmos alguns exercícios mais simplificados que abordam noções de conceitos, abordaremos exercícios que exigem outras habilidades na sua resolução.

1) (Guarda Civil SP). O resto da divisão do polinômio x³ + 3x² – 5x + 1 por (x-2) é:

a) 1
b) 2
c) 10
d) 11
e) 12

A divisão de polinômios não é considerada propriamente uma habilidade difícil, mas confunde muitas pessoas na hora de resolver questão como essas. Veja abaixo a resolução seguindo o método da chave.

x³ + 3x² – 5x + 1           | x - 2

-x³ + 2                            |  x^2
________
0x³ + 3x² – 5x + 1

Seguindo o tutorial, primeiro dividimos o primeiro monômio do polinômio dividendo (x³) pelo primeiro monômio do polinômio divisor (x) e inserimos o resultado no quociente.

Após isso, devemos multiplicar o monômio obtido por todos os termos do polinômio divisor, em seguida devemos trocar o sinal do resultado, ou seja, multiplicar por -1.

x³ + 3x² – 5x + 1           | x - 2

-x³ + 2x²                        |  x² + 5x + 5
^________
5x² – 5x + 1

-5x² + 10x
__________
5x + 1

-5x + 10
________
R(x) = 11

Para essa divisão tivemos que obter um resto de expoente 0 uma vez que o resto da divisão de um polinômio deve ter um grau menor do que o grau do polinômio divisor.

Resposta letra d.

2) (Prefeitura de Terra de Areia RS – Objetiva 2016). Assinalar a alternativa que apresenta o resultado do polinômio abaixo:

2x(5x + 7y) + 9x(2y)

a) 10x + 14xy + 18yx

b) 6x² + 21xy

c) 10x² + 32xy

d) 10x² + 9y

e) 22x + 9y

A questão acima é bastante simples, devemos apenas realizar a distributiva entre os fatores.

2x(5x + 7y) + 9x(2y)

10x² + 14xy + 18xy

10x² + 32xy

Letra C

3) (FEI – SP) Sendo p(x) = ax⁴ + bx³ + c e q(x) = ax³ – bx – c, determine os coeficientes a, b e c, sabendo que p(0) = 0, p(1) = 0 e q(1) = 2.

Nesse exemplo, temos que relacionar coeficientes de duas equações. Inserindo os pontos cedidos pelo enunciado na questão temos que:

p(x) = ax⁴ + bx³ + c  ; p(0) = 0
p(0) = a(0)⁴ + b(0)³ + c
0 = a*0 + b*0 + c
c = 0

p(x) = ax⁴ + bx³ + c  ; p(1) = 0
p(1) = a(1)⁴ + b(1)³ + c
0 = a + b + c

Se c = 0, temos que a + b = 0.

q(x) = ax³ – bx – c  ;  q(1) = 2
q(1) = a(1)³ – b(1) – c
2 = a – b – c

Sendo c = 0: a – b = 2

Comparando e somando as equações obtidas temos:

a + b = 0
a – b = 2
2a = 2
a = 1

Se a = 1, b:
a + b = 0
1 + b = 0
b = -1

Assim, a = 1 e b = -1.